かけ算と、優先順位のなぞ

7か、9か

小学校で習った決まりがあります。「かけ算は、たし算より先」。だから 1 + 2 × 3 は 7。

でも、立ち止まってください。コンピュータは小学校に行っていません。「先に計算する」を、文字も計算もしらみつぶしに処理する機械に、どう教えればよいのでしょう。今日はこのなぞを解いて、電卓を完成させます。

答えは、木のかたちにある

②の欄を見てください。× が、+ より深いところにいます。

前のレッスンで「木は深い葉っぱから固まる」と学びました。つまり——深いものが先に計算される。「かけ算が先」を機械に教えるとは、「かけ算が木の深いところに来るように木を組む」ということだったのです。優先順位は計算のルールではなく、木の組みかたのルールでした。

確かめましょう。実験室で (1 + 2) * 3 に書きかえてください。かっこをつけると、今度は + が深いところへ移り、答えは 9 になります。かっこの正体は、「ここを先に固めて」という、木の組みかえ指示です。

文法に、階層を書く

では、木を組む側（工程②）は、どうやって × を深くするのか。種明かしは、文法の書きかたにあります。この電卓の文法は、実はこういう3階建てになっています。

式　＝ 項 が「+」「-」でつながったもの
項　＝ 因子 が「×」「÷」でつながったもの
因子＝ 数、または「( 式 )」

読みかたのコツは「式は項でできていて、項は因子でできている」というmaterial（材料）の階層です。パーサ（工程②のプログラム）は、この3行をほぼそのまま関数3つに写して作ります。「式を読む関数」は「項を読む関数」を呼び、「項を読む関数」は「因子を読む関数」を呼ぶ。

材料の階層が深いほど、木の深いところで固まる。× は「項」の階層——「式」より一段深い——にいるから、自然と木の深い場所に組まれる。文法の階層が、そのまま優先順位になる。これが今日のなぞの、最後の答えです。

電卓、完成

数・たし算ひき算・かけ算わり算・かっこ。あなたの言語は、電卓として完成しました。

レッスン1でこう言いました。「電卓と本物の言語のちがいは語彙の量だけ」。その意味が、いまは実感できるはずです。文法に1行足し、評価器に1行足せば、語彙はひとつ増える。この足し算を繰り返した先に、変数があり、もしもがあり、関数があり——にわ語があります。

このレッスンで分かったこと

• 優先順位の正体は木のかたち。深いものが先に計算される
• かっこは「ここを先に固めて」という木の組みかえ指示
• 文法を階層（式＞項＞因子）で書くと、階層がそのまま優先順位になる
• 規則は設計の選択。「+が先」の言語も、作ろうと思えば作れる